编者按：本文系“研究性”示范研究生课程系列报道的第五篇。“研究性”示范研究生课程是由校研究生教学督导专家用三年时间深入教学一线、对几十门研究生课程进行跟踪调研，筛选出的5门有代表性和借鉴意义的优秀课程。数学学院的《抽象代数Ⅱ》就是其中之一。希望更多教师可以从这不同专业、不同特色的5门研究性教学课程中，学习借鉴教学上的新思路、新方法，互相取长补短，优化教学环节，探索提高教学质量和教书育人品质的新路。
探究为要 多措并举
——《抽象代数Ⅱ》课程研究性教学的探索与实践
记者 史恒瑞
抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。天才数学家Galois （伽罗瓦）使代数学由作为解方程的近代科学转变为研究代数运算和代数结构的现代数学，把代数学由初等代数时期推向了抽象代数时代。抽象代数作为一门基础要求厚，思维难度大，教学难度高的核心基础理论课，在数学专业研究生培养中具有重要地位。《抽象代数Ⅱ》课程组经过长期改革和实践，在调动研究生兴趣，强化基础知识，引导探究学习、培养研究能力等方面探索出了一系列富有成效的可借鉴、可推广的经验。
因材施教 夯实基础
《抽象代数Ⅱ》课程组负责人杨义川老师认为，兴趣是最好的老师，学生只有自己想努力学好时，学习的积极性才能被调动起来。而调动学习的积极性又可以从多方面努力——带领学生建立起学好这门课程的自信心、把抽象的数学用通俗易懂的授课方式引导学生领会课程的内在魅力、通过主讲和助教全员努力+课堂和课下全程循序渐进地给研究生打好基础。
“每一年的招生情况不一样，生源不一样，所以不能每年都套用完全一样的方法来教学。作为老师，我们要充分了解研究生的基础和学习的特点。在结合他们自身特点的基础上对教学进行有针对性的调整和改变。如果研究生基础比较薄弱，可以一开始的时候加加餐，补一补，给研究生适应和消化的时间，然后再逐步加大剂量，在‘教师设计教-学生主动学-助教高效辅’的全局模式中提高授课效果，让研究生从一开始就有获得感和成就感，帮助研究生克服掉畏难心理，为研究生逐渐主动学习和探究学习打下坚实基础”。杨老师与助教团队以学生为中心”思考和制定个性化学习方案，切切实实让处于不同基础的研究生都能获取足够的学习资源和学习助力，快速有效地夯实学习这门课程大厦的地基。
案例导引 科教互哺
抽象代数属于近现代数学范畴，它不同于线性代数等通识数学课程，在思维和理解方面对研究生的要求要高得多，因此，如何将抽象与实际相结合，从而在学与用之间寻找一个恰当的平衡是关键。那么，如何用研究生容易接受和理解的方式来传输概念呢？课程组坚持从生动活泼、研究生喜闻乐见的、富有启发性的案例出发，让研究生领悟到抽象代数其实没那么可怕，从而打消对抽象代数的恐惧心理。抽象代数中的一般概念都可以由实际生活和具体数学应用问题中的来源和背景引出，例如，从大家都喜欢玩的幻方开始，引出正方形的对称；用小学生都明白的奇数和偶数概念引出二元域；用充满神秘色彩又简单易学的“凯撒密码”引入整数的同余类；从正十七边形的尺规作图引出Galois理论等等。还可以通过将概念与研究生熟知的常识做类比，例如，将代数分类的思想与“打包处理”做类比、将函数与“医学上的X光透视”做类比等等。通过丰富的举例、类比，将难以理解的数学概念变的易于接受。提炼共性，总结规律，将概念、定理从众多案例中抽象概括出来，从具体到抽象。这个引导研究生循序渐进的过程，再现前人发现相关概念和结论的思维探索过程，无形中也培养了研究生举一反三、触类旁通、推而广之和总结、凝练的数学创新思维。
在课堂上不仅引导研究生“知来龙，晓去脉”，杨老师还常常将教学问题提升为科研问题，给研究生在学习抽象代数基础上尝试推广已有的结论和理论，训练数学研究能力。同时，杨老师还注重科研反哺教学。他经常提出一些学科前沿甚至是还未解决的数学问题来启迪研究生。在尝试解决科研问题的过程中，通过“理解-思考-寻求解答-凝练提高-再理解-再思考-再解答-再凝练”的螺旋式上升、波浪式前进的方法，研究生进入了体验式再发现代数理论的探索学习之旅，这个过程大大激发了他们主动学习的数学情结和攻坚克难的数学志趣，持续保持对课程的兴趣与学习动力。
分层练习 循序探究
课堂是教学的重要组成部分，但是只抓住课堂是远远不够的，对学习内容的深入理解和探究离不开课后下大功夫。《抽象代数Ⅱ》课程组在教学过程中设置了三层练习——第一层是帮助对当节课程内容的回顾、理解和消化，“温故而知新”就强调了课后回顾的重要性；第二层是为下次将要讲到的问题预设难度稍高的思考习题，让研究生在课前思考，带着问题和自己的思考来到课堂。带着问题听课，无形中提高了课堂专注度，也加深了研究生对学习内容的理解，课堂效率得到大大提高；第三层是在适当的内容和章节中把与教学内容相关的代数公开问题加以介绍，并布置文献查找和搜索，作为课后阅读练习，把最新的科研成果转化为鲜活的教学资源，用以激发研究生攻坚克难、自我探究，开阔研究生的视野。
为了督促研究生全程学习，《抽象代数Ⅱ》的研究型考核目标明确，考核内容多样，评审方式多维。考核贯穿了教学的全过程：
一般情况下，平时考核成绩50%，其中，翻转课堂成绩占10%，作业成绩占25%，在课程网站和答疑群中参与有效讨论度占10%，还有研究生登陆课程中心的次数以及擦黑板等反映研究生对课程和课堂的努力程度占5%；期末考试成绩占50%，考试不仅仅是经典题型的考察，还考察学期内课堂学习或课后作业布置了的相关文献的知识或方法、外籍专家英文教学视频的视听理解与复述、外籍专家讲义手稿的认读等等，考试时间2-5个小时，含有了一道区分度高的探究性、挑战性题目。
如果研究生成功撰写研讨小论文可占总成绩的0-100%；能阅读相关参考文献，写出与课堂内容相关的具有一定创新性和专业水平的研究小论文，课程成绩可直接得优。
这种多维的评价体系把对研究生测评的时间跨度拉长到了整个学期，过程变得和结果一样重要，这就要求研究生从始至终全程积极参与课堂教学和课后学习，稳扎稳打、踏踏实实增加代数学识，拓展研究能力，提升综合素质，可以有效避免研究生平时不参与不努力，实际没有掌握学习重点和难点，期末突击复习应付考试，只为考试通过而考试的不良情况出现。
多点发力 久久为功
（1）坚持组织外籍专家授课
《抽象代数Ⅱ》连续多年邀请和组织外籍专家承担课程不少于16学时的教学工作，邀请的专家包括德国W. Rump教授、K. Keimel教授、N.Schwartz教授，美国M. Zafrullah教授，意大利A. Di Nola教授等。国际著名数学专家授课的过程中除了让研究生在课堂上享受到原汁原味的外语教学外，外籍专家各具特色的授课特点对提高研究生们的学习兴趣很有帮助，而且，由于各位外籍专家活跃在科研一线，他们在授课中把学科前沿问题自然融入教学相关内容之中，不仅开阔了研究生的国际学术视野，也为研究生的科研选题和学术鉴赏起到了潜移默化的熏陶。但研究生的最初几次课程的语言交流障碍是主要问题。为了不让语言影响教学效果，杨老师坚持全程跟研究生一起随堂听课做笔记，利用课间的时间有针对性地对相应部分概念、理论、外教板书习惯等进行画龙点睛式的讲解，让研究生在课间休息时就能及时得到释疑解惑与知识补充。同时，杨老师要求助教们在课后当天要就把外教讲稿整理成电子文档，当天发给同学们学习。这样几节课下来，语言问题就基本得到了解决，外教授课的效果得到了有效保障。另外，为了确保外教授课的持续性，杨老师组织了连续五年的外教授课内容调整和视频录制工作，已经将课程主要内容录制完成。
（2）发挥“翻转课堂”的作用
“翻转课堂”是《抽象代数Ⅱ》课程组多次成功实施的又一个教学改革举措。因为该课程难度大，可供研究生翻转的内容需要精心挑选和设计。翻转课堂的学时控制在4学时左右。在翻转课堂中，首先按照授课内容和关键词确定翻转课堂的主题，再按照主题把教学班级分组，内容难度较大的由指定博士生负责组织。分好小组后，组内同学齐心协力，合作突破难疑点，找寻知识之间承上启下的衔接点并展开讨论。展示PPT由组内同学共同完成。在翻转课堂上，一位或多位小组代表在讲台上讲解各自小组负责的知识点，其他同学可以自由发问。研究生之间合作纠错、交流评价、梳理知识，最终由老师来释疑解惑、点拨启发、归纳总结。在这种课堂交流和讨论模式下，研究生的学习自主性和积极性被充分调动了起来，研究生不仅仅是知识的被动接收者，而且有了机会先给自己输入和扩展知识，再输出和传播给其他同学。这样一来，研究生的参与感和成就感得到了大大增强，在准备阶段他们积极搜索阅读相关文献，在展示的过程中能感受到自己参与在课堂之中，对相关知识点的理解也在探讨中实现螺旋式上升。
(3)整合利用互联网技术
《抽象代数Ⅱ》课程组充分利用和整合互联网+这一信息化工具，实现在时间和空间上对有限课堂的延伸和扩展。课程组建立的课程中心的课程网站有一系列实用资源，分为精彩案例分析、学习资源、双语教材、外教手稿、习题与参考解答等多个模块。为了给研究生夯实基础，让对《抽象代数Ⅰ》学习不到位的同学快速进入状态，课程网站上还专门提供了《抽象代数Ⅰ》的两类优秀学习资源：电子书籍和授课视频，以便研究生自主学习和查阅。其中，电子书籍包括国内五大优秀的《抽象代数》教材及部分习题参考解答；视频资源包含多位国家级教学名师，以及国际专家主讲的《抽象代数》英文视频等资料。课下答疑也十分便捷，通过课程中心、邮件、QQ群、微信群等多种途径，研究生的疑问能得到及时有效的反馈。教师也能了解研究生的学习水平和对知识的掌握情况，以便科学调整授课进度，合理安排习题课和答疑辅导，对研究生普遍存在的问题进行进一步的阐释、强调和补充。另外，为帮助研究生尽快掌握撰写具有国际视野的高质量数学研究论文，课程网站上还建立有常用数学写作工具（如数学英文写作讲义、数学论文排版LaTeX软件等）和系列相关研究资源（如中、英文参考文献）的链接或资料电子版。
(4)助教群体助力教学
除了主讲教师和外籍专家主讲+习题课外，为了让研究生更扎实地学习，《抽象代数Ⅱ》课程组从2009年开始连续十余年使用主讲教师的科研经费聘请优秀助教来帮助研究生改作业、答疑、讲习题课等。最多的时候这门课一学期曾用科研经费聘请过四位助教。由于中国研究生从小、初、中、大学期间适应了做作业学习和训练的模式，所以对西方发达国家一流高校的研究生培养模式，教师需要根据国情研究教学内容，对象、模式、效果。课程组对每位助教的工作要求非常清晰明确，助教必须随堂听课，而且在听课的过程中可能会根据研究生听课过程中可能产生的理解困难，被随时地请上台，对老师刚讲的内容做补充或总结；每堂课结束后，经助教与主讲教师协商，有针对性地布置当天作业题（而不是千年一律的既定题目），作业题电子版在当天要上传课程中心发布；批改完作业后会根据同学完成情况记录平时成绩；每次作业批改结束，助教还需要编写参考答案电子版以及作业问题总结和反馈，同时上传课程中心供研究生反思和提高；平日里同学问的学习问题，也要在线及时解答；助教还会根据研究生学习情况和课程进度情况在课后安排讲习题课，主要内容是课后作业，或者一些典型易错习题，其中一些题目会请研究生上台讲解自己的解答和思考，由同学、助教和老师点评；助教的其它工作还包括考试监考、阅卷、录成绩和负责一些学习资料的管理、课程中心的协助维护等。
教学相长 桃李芬芳
通过《抽象代数II》这门课，杨义川老师希望研究生明白，研究生学习与科研是不可分割的。学习的过程不仅仅是学习经典知识，还要用创新的眼光和严谨的态度看待学习的内容。比如，当学习一条定理时，我们不能满足于跟着课本或教材学习如何证明这条定理，还要去想：这个定理的著者是如何想到的，其证明是怎么想到的？定理的前提条件可不可以削弱（适用范围加以推广的创新）？结论可不可以增强（同条件下更优结果的创新）？证明方法能否被简化或者给出新的证明（方法的创新）？等等，这些问题对每一条定理都可以进行探索和尝试。反过来，科研的过程离不开学习，没有一定的知识储备是不大可能凭空创新的。这些观念的转变正如长城不是一天建成的一样，需要通过老师长期通过课堂讲授、讲义编写、习题设计、答疑解惑等多种方式来落到实处。比如讲义编写的内容是基础知识与前沿问题并存，甚至在讲义中提出一些与当前知识有关的数学界公开问题。老师在讲这门课时不照本宣科，而是逐步引导研究生去提出问题，再从问题出发探究解决思路，从思路出发查阅相关文献、吸收前人的宝贵经验和核心思想，然后才会有所顿悟和创新。“教学是持续性的工作，需要教师对课程的重视与投入，科研也是一项长期且艰苦的工作，无论是教学还是科研，都需要主动思考、主动学习、总结概况、不断提高。研究生教学不仅仅是传授知识，更要教会研究生步入科研的基本方法和自主探究能力。学无止境，教无定法，即使我们的研究生以后跨学科跨行业发展，他们在科研探索中所掌握的终生的自主学习能力也会让他们在任何行业都能做好。”
该课程的一位研究生刘栋年这样回忆自己的探索过程：“我研究生阶段做的问题就是受了这门课的启迪：Birkhoff-Pierce 1956年提出的复数域上的格序问题。杨老师带我们进行过这个问题相关的探索思考，我进行了深入的学习研究，发表了一篇SCI文章。杨老师是一位博学且严谨的老师，通过上他的课我对于代数学有了更深刻的了解，尤其是他严谨仔细的学术风格对我的影响很大。也是在那个时期我养成了坚持学习的习惯，去了解有关的国际顶级杂志期刊，追踪学术前沿的问题，有什么不懂的问题，就查文献，不断提高自己。”
“杨老师在习题中让大家思考不同环是否在应用时具备一些不同的特点，结合我自身的专业，这个问题吸引了我强烈的兴趣，我将密码签名体制中普遍使用的整数环换成艾森斯坦环，相关的研究成果发表于数学类SCI Q1区期刊。同时身边还有同学从杨老师设置的解决探究性问题中做出了论文，有已经正式发表于国际重要数学期刊，如Ann. Pure Appl. Logic，Linear and Multilinear Algebra，Fuzzy Sets and Systems等。”该课程的研究生吴发国这样说道。
杨义川老师的一位学生陈艳平教授这样回忆在《抽象代数Ⅱ》做助教的经历：“作为这门课的助教，答疑和批改作业任务繁重，尤其是要及时上传当天授课的讲义和听课的学习笔记。常常是临近午夜还没有做完助教工作，这时我们助教最初的决心往往会有所动摇。但当看到杨老师常常在凌晨2点多，还在上传、更新或完善教学资料时，又深刻体会到了自己作为助教必须担负的责任和使命。这促使包括我在内的教学教辅团队坚持把提高教学质量变成了我们自觉性的习惯。这些习惯使我们自己也受益终身。例如，当时和我一同做助教的吴雅丽博士最近获得了河北省青年教师教学比赛一等奖，并发表多篇与本课程密切相关的SCI论文；我自己获得校级教学成果奖一等奖，发表的一篇与本课程密切相关的论文已被译为波斯语作为伊朗研究生的教学资源；还有几位给杨老师主讲的《抽象代数II》做过助教的同学现在分别在国内外一流高校任教，得到了研究生的高度认可。”
经过多年的教学与科研的实践，杨义川老师认为，大学与科研院所不同，要以育人为本，以科研为根；研究生培养要重视跨专业、跨学院、跨学校、跨城市、跨国交流合作。多维交流可以让研究生拓展视野，接触新知识、新领域、新思想，让研究生有机会早日实现自我定位，发现自己的兴趣和特长所在，探究学习就成了研究生雕刻在生命之树深处的本能。《抽象代数Ⅱ》课堂不仅仅是播种知识，也是播种行动，播种习惯，播种理念。
【点评】
校研究生督导评估组理科一组组长，原数学学院党委书记、理学院主管研究生教学副院长、博士研究生导师高宗升教授：
《抽象代数II》是为数学专业研究生开设的一门核心基础理论课，其特点知识面要求宽，内容高度抽象，教师难教，学生难学。该课程组在教学实践中，结合课程的特点和教学要求，以探究学习为核心，因材施教，提升研究生的学习信心和研究兴趣；通过案例导引、科教互补，分层练习、循序探究，邀请外教任课，开展“翻转课堂”教学，充分利用网络教学资源，建立全程考核、多维评价的机制等教学方法和手段，不断改进和探索，形成了自己的特色。
课程组的多年教学实践表明，参加该课程学习的研究生不仅掌握了该课程的基本理论知识，打下了坚实的抽象代数基础，而且开阔了他们的视野，历练了他们的科研创新能力。任课教师在教学中做出的这些努力，得到了研究生的普遍认同和好评，收到了比较显著的教学效果。
该课程凝练出的教学经验和理念，对于理科特别是数学类研究生课程的研究性教学，提供了一个可供参考的样本，在国内同行中产生了较大的影响。课程主讲教师杨义川教授被评为北京市教学名师。
当然，对于一门课程，如何教才是最科学的，不同的教师有着不同的方法和体会，《抽象代数II》的教学探索与实践也许并不完美，但值得借鉴。
